elev

חוקיותSuites et régularités

Choisir un sous-thème
  1. חוקיותSuites et régularités
  2. ביטויים אלגברייםExpressions algébriques
  3. כינוס איברים ופתיחת סוגרייםRéduire et développer
  4. שוויון בין ביטוייםExpressions égales

הרבה דברים במתמטיקה בנויים לפי : כלל שחוזר על עצמו שוב ושוב. בפרק הזה נבנה צורות מגפרורים. המטרה: לדעת כמה גפרורים יש במבנה רחוק, למשל במבנה 50 — בלי לצייר אותו.

מבנים מגפרורים

מסתכלים על מבנה 1, מבנה 2 ומבנה 3. שואלים: מה נוסף בכל פעם? ומה היה שם כבר בהתחלה? לחצו על הכפתור וראו את המבנים נבנים.

ריבועים מגפרורים: מוצאים את החוק
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
מבנה 1: ריבוע אחד. סופרים את הגפרורים: 4.
בכל מבנה נוספים 3 גפרורים — ריבוע אחד. גפרור אחד כחול היה שם מההתחלה. לכן במבנה מספר nn יש 3n+13n + 1 גפרורים: שלוש פעמים מספר המבנה, ועוד אחד.
Questionכמה גפרורים יש במבנה 7 של הריבועים?

מה זה משתנה

בחוק 3n+13n + 1 האות nn היא מספר המבנה. היא יכולה להיות 1, 2, 7 או 50. אות שעומדת במקום מספר שמשתנה נקראת . כך כותבים חוק אחד לכל המבנים יחד.

n=1  →  3⋅1+1=4n=2  →  3⋅2+1=7n=10  →  3⋅10+1=31\begin{aligned}n &= 1 \;\to\; 3 \cdot 1 + 1 \\ &= 4 \qquad n \\ &= 2 \;\to\; 3 \cdot 2 + 1 \\ &= 7 \qquad n \\ &= 10 \;\to\; 3 \cdot 10 + 1 \\ &= 31\end{aligned}
מצאתם חוק? בדקו אותו על מבנה 1 ועל מבנה 2 לפני שקופצים רחוק. אם החוק לא נותן את מה שסופרים בציור — החוק שגוי.
שלב 1: בסיס קבוע של 1 ועוד 1 קבוצות של 3 — 3⋅1+1=43 \cdot 1 + 1 = 4 ריבועים.
עברו שלב-שלב. כאן כל ריבוע קטן מייצג גפרור אחד: הריבוע הכתום קבוע, ובכל שלב מצטרפת קבוצה מקווקוות של 3. לכן בשלב nn יש 3n+13n + 1.

לא תמיד «ועוד 1»

עכשיו בונים שתי קומות של ריבועים. בכל מבנה נוספים 5 גפרורים. אבל בהתחלה יש 2 גפרורים, לא 1. המספר שמוסיפים בסוף החוק תלוי בציור.

שתי קומות: חוק עם התחלה אחרת
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
מבנה 1: טור אחד. סופרים את הגפרורים: 7.
בכל מבנה נוספים 5 גפרורים, ובהתחלה יש 2. החוק הוא 5n+25n + 2. מבנה 9 הוא התשובה לשאלה ההפוכה: 5⋅9+2=475 \cdot 9 + 2 = 47.
Questionהאם יכול להיות מבנה של שתי קומות עם 60 גפרורים בדיוק?

עכשיו אתם מוצאים את החוק

בתים מגפרורים
בונים שורה של בתים צמודים מגפרורים. במבנה 1 יש 6 גפרורים, במבנה 2 יש 11, ובמבנה 3 יש 16. מהו החוק למבנה מספר nn?
  1. מה בודקים קודם?
בודקים את חוק הבתים בציור
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
מבנה 1: בית אחד. סופרים את הגפרורים: 6.
בציור רואים את החוק שמצאתם: גפרור כחול אחד, ועוד חבילה של 5 גפרורים לכל בית. 5n+15n + 1.
Questionלפי החוק 5n+15n + 1, איזה מבנה של בתים יש בו 76 גפרורים?

סדרות של מספרים

אותה שיטה עובדת גם בלי גפרורים. בסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots כל גדול מהקודם ב-3. האיבר הראשון הוא 5. בציור השני שלמטה: התחלה כחולה של 2, ועוד חבילה של 3 לכל מקום.

5182113144+3+3+3…
בכל צעד מוסיפים 3 — החץ מראה את הקפיצה.
התחלה123
11 נקודות באיבר ה-3
3×3+2=113 \times 3 + 2 = 11
הכלל3n+23n + 2— איבר מספר nn מכיל 3 כפול nn ועוד 2
5,8,11,14,17, …
האיבר ה-50 מכיל 152 נקודות — בלי לספור, ובלי לצייר.
מספר החבילות הכתומות שווה תמיד למקום של האיבר בסדרה. לכן האיבר במקום nn הוא 3n+23n + 2.
5,  8,  11,  14,  …⟶3n+25,\; 8,\; 11,\; 14,\; \ldots \quad\longrightarrow\quad 3n + 2
האם 29 נמצא בסדרה? ו-30?
5,  8,  11,  14,  …3n+25,\; 8,\; 11,\; 14,\; \ldots \qquad 3n + 2
הולכים אחורה בחוק: קודם מורידים את 2, ואחר כך מחלקים ב-3.
4 שלבים
מספר נמצא בסדרה רק אם המקום שלו יוצא מספר שלם וחיובי.

לא כל סדרה עולה בקפיצות שוות

2,  5,  8,  112,\; 5,\; 8,\; 11
מוסיפים 3 בכל צעד — הפרש קבוע. יש חוק כמו 3n−13n - 1.
1,  3,  9,  271,\; 3,\; 9,\; 27
כופלים ב-3 בכל צעד — מנה קבועה.
9,  11,  14,  189,\; 11,\; 14,\; 18
מוסיפים 2, אחר כך 3, אחר כך 4 — ההפרש גדל.

שתי טעויות שחוזרות הרבה

3⋅50=1503 \cdot 50 = 150
3⋅50+2=1523 \cdot 50 + 2 = 152

שכחו את ההתחלה. החוק הוא 3n+23n + 2, ולא רק 3n3n.

5+3⋅50=1555 + 3 \cdot 50 = 155
5+3⋅49=1525 + 3 \cdot 49 = 152

בלבלו בין מקום לבין מספר צעדים. מהאיבר הראשון עד האיבר ה-50 יש רק 49 צעדים.

סדרה א — קל: לספור ולהמשיך

5182113144?5+3+3+3?
לפניכם סדרה. מהו האיבר הבא?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: מבנים 1, 2 ו-3 של ריבועים מגפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 4?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: מבנים 1, 2 ו-3 של משולשים מגפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 5?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים. השלימו את מספר הגפרורים במבנים 4 ו-5.
מבנה 1: 44 · מבנה 2: 77 · מבנה 3: 1010 · מבנה 4: · מבנה 5:
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: בתים צמודים מגפרורים. איזה משפט מתאר את החוקיות?
בציור: בתים צמודים מגפרורים. איזה משפט מתאר את החוקיות?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: מבנים 1, 2 ו-3 של שתי קומות של ריבועים. כמה גפרורים יש במבנה 4?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
Affirmationבציור: בתים מגפרורים. בכל מבנה נוספים 6 גפרורים, כי לכל בית יש 6 גפרורים.
בציור: בתים מגפרורים. בכל מבנה נוספים 6 גפרורים, כי לכל בית יש 6 גפרורים.
סדרו את השלבים למציאת חוק של מבנים מגפרורים.

Touche les étapes dans le bon ordre

71132193254?5+6+6+6?
לפניכם סדרה. מהו האיבר הבא?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 6?
5182113144+3+3+3…
החוק של הסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots הוא 3n+23n + 2. השלימו.
האיבר ה-4: · האיבר ה-10:
מיינו את הסדרות.

Pour chaque carte, choisis sa catégorie

20,17,14,1120, 17, 14, 11
6 restantes
5182113144+3+3+3…
Affirmationבסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots האיבר ה-6 הוא 20.
בסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots האיבר ה-6 הוא 20.
113293274…
לפניכם סדרה. מהי החוקיות?
לפניכם סדרה. מהי החוקיות?

סדרה ב — בינוני: לקפוץ בעזרת החוק

5182113144+3+3+3…?50
בסדרה שבציור — מהו האיבר ה-50?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בונים משולשים בשורה מגפרורים. המשולש הראשון דורש 3 גפרורים, וכל משולש נוסף שנצמד אליו דורש עוד 2 בלבד. כמה גפרורים יש במבנה העשירי?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: מבנים 1, 2 ו-3 של ריבועים מגפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 10?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: בתים מגפרורים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים במבנה מספר nn?
בציור: בתים מגפרורים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים במבנה מספר nn?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: שתי קומות של ריבועים מגפרורים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים במבנה מספר nn?
בציור: שתי קומות של ריבועים מגפרורים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים במבנה מספר nn?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים. במבנה 20 יש 61 גפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 21?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים. במבנה 20 יש 61 גפרורים. כמה גפרורים יש במבנה 19?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
Affirmationבציור: ריבועים מגפרורים. במבנה 10 יש פי 2 גפרורים ממבנה 5.
בציור: ריבועים מגפרורים. במבנה 10 יש פי 2 גפרורים ממבנה 5.
5182113144+3+3+3…?50
Affirmationבסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots (החוק 3n+23n + 2) האיבר ה-50 הוא 150.
בסדרה 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots (החוק 3n+23n + 2) האיבר ה-50 הוא 150.
התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

Touche un élément à droite, puis son binôme à gauche

התאימו כל סדרה של מספרי גפרורים לחוק שלה.

Touche un élément à droite, puis son binôme à gauche

מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: שתי קומות של ריבועים (5n+25n + 2). חישבו כמה גפרורים יש במבנה 8 ובמבנה 9. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

Une ligne est fausse — touche-la

61102143184…?25
לפניכם סדרה. מהו האיבר ה-25?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים. השלימו את החישוב של מבנה 7.
3⋅3 \cdot ++ ==

סדרה ג — מאתגר: שאלות הפוכות ושאלות «האם אפשר?»

מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים (3n+13n + 1). באיזה מבנה יש 88 גפרורים?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: בתים מגפרורים. באיזה מבנה יש 126 גפרורים?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: שתי קומות של ריבועים (5n+25n + 2). באיזה מבנה יש 60 גפרורים? אם אין מבנה כזה, רשמו 0.
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: ריבועים מגפרורים (3n+13n + 1). באיזה מבנה יש 100 גפרורים? אם אין מבנה כזה, רשמו 0.
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
Affirmationבציור: משולשים מגפרורים (2n+12n + 1). אפשר לבנות מבנה עם 50 גפרורים בדיוק.
בציור: משולשים מגפרורים (2n+12n + 1). אפשר לבנות מבנה עם 50 גפרורים בדיוק.
בסדרה עם הפרש קבוע, האיבר ה-8 הוא 35, וכל איבר גדול מהקודם ב-4. מהו האיבר ה-12?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
דנה בונה מבנה nn של ריבועים (3n+13n + 1) וגם מבנה nn של משולשים (2n+12n + 1), עם אותו nn. בציור: מבני הריבועים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים של שני המבנים יחד?
דנה בונה מבנה nn של ריבועים (3n+13n + 1) וגם מבנה nn של משולשים (2n+12n + 1), עם אותו nn. בציור: מבני הריבועים. איזה ביטוי נותן את מספר הגפרורים של שני המבנים יחד?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
אותה דנה: מבנה nn של ריבועים ומבנה nn של משולשים, עם אותו nn, צריכים יחד 57 גפרורים. מהו nn?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
בציור: שתי קומות של ריבועים מגפרורים. באיזה מבנה יש 102 גפרורים?
מבנה 1מבנה 2מבנה 3
Affirmationבציור: בתים מגפרורים (5n+15n + 1). בכל מבנה, מספר הגפרורים מסתיים בספרה 1 או בספרה 6.
בציור: בתים מגפרורים (5n+15n + 1). בכל מבנה, מספר הגפרורים מסתיים בספרה 1 או בספרה 6.
91112143184?5
לפניכם הסדרה 9, 11, 14, 18. לפי אותה חוקיות — מהו האיבר הבא?
12114.5217319.54+2.5+2.5+2.5…
סדרה שהאיבר הראשון בה הוא 12, וכל איבר גדול מקודמו ב-2.5. האם 29.5 הוא איבר בסדרה? אם כן — באיזה מקום? (אם לא, רשמו 0)
316273144155306317?8
בסדרה 3, 6, 7, 14, 15, 30, 31, …3,\ 6,\ 7,\ 14,\ 15,\ 30,\ 31,\ \ldots מבצעים לסירוגין שתי פעולות: פעם מכפילים ב-2, ופעם מוסיפים 1. מהו האיבר הבא?
בטבלה, לכל מספר ראשון nn מתאים מספר שני: ל-1 מתאים 2, ל-2 מתאים 8, ל-3 מתאים 18, ול-4 מתאים 32. איזה ביטוי מתאר את הקשר?
בטבלה, לכל מספר ראשון nn מתאים מספר שני: ל-1 מתאים 2, ל-2 מתאים 8, ל-3 מתאים 18, ול-4 מתאים 32. איזה ביטוי מתאר את הקשר?